Las matemáticas tienen una gran importancia en el desarrollo económico y en el progreso tecnológico de cualquier país. Se dice que estas también son fundamentales para el desarrollo intelectual de los niños, ya que les ayudan a ser más lógicos, a razonar y a pensar de manera crítica
Si eres de los que les gustan las matemáticas, especialmente la geometría o quieres desarrollar tu intelecto. En este artículo te taremos todo sobre el progreso geométrico.
¿Qué es una progresión geométrica?
Antes de definir qué es una progresión geométrica, debemos definir qué es una progresión. Una progresión o sucesión matemática es una serie, cadena o secuencia de números reales.
A cada número de la secuencia se le denomina términos y se puede representar por , donde la letra representa la colocación del término en la secuencia.
Las progresiones geométricas pueden ser de dos tipos: progresiones aritméticas y geométricas. Sin embargo, estaremos profundizando solo la progresión geométrica.
Entonces, una progresión geométrica es una secuencia de números, donde cada término es el resultado de la multiplicación del término con un número constante llamado razón.
En otras palabras, se puede decir que una progresión geométrica donde la variación entre dos números seguidos será siempre la misma a lo largo de toda cadena. Esta secuencia se puede representar por una función exponencial. Es por ello, que el formula general de una progresión se expresa como:
En una progresión geométrica se puede clasificar en 4 clases:
1. Progresión creciente, si el número de la progresión es un número positivo mayor que 1.
2. Progresión constante, si el número es igual a 1.
3. Progresión decreciente, si el número está entre 0 y 1 .
4. Progresión alternada, si el número esnegativo.
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¿Cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica?
Para saber la diferencia entre una progresión aritmética y geométrica, es bueno que definamos también qué es una progresión aritmética.
Por consiguiente, una progresión aritmética es una serie de números reales, donde cada término es el resultado de haberle sumado un número constante predeterminado al término anterior. Este número fijo recibe el número de diferencia .
La fórmula general de una progresión aritmética es la siguiente:
Entonces, ¿cuál es la diferencia entre ambas progresiones? Bueno, la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica es que la primera se obtiene mediante la suma o resta, mientras que la segunda se obtiene mediante la multiplicación o división.
También hay diferencia en la representación gráfica de ambas progresiones. Cuando representamos gráficamente una progresión aritmética esta da una línea recta, mientras que la progresión geométrica da una línea curva o de tendencial exponencial.
Sucesión de números con progresión geométrica
Una sucesión de números con progresión geométrica se define como aquella secuencia de números donde la diferencia entre un término y el anterior no es constante a lo largo de la secuencia. También se puede definir como aquella secuencia de números donde la división de un término con el anterior se mantiene constante a lo largo de toda la secuencia.
Por ejemplo, supongamos la siguiente sucesión de números con progresión geométrica: 3, 9, 27, 81, 243…
Si hacemos la diferencia de 27-9, el resultado sería 18 y si restamos 9-3 el resultado sería 6. Como vemos no hay un número constante si restamos. Ahora, si dividimos 27/9 el resultado sería 3, el mismo número que tendríamos si dividimos 9/3.
Por otro lado, si nosotros quisiéramos hacer la suma de términos de una progresión geométrica, sería sencillo si aplicamos la siguiente formula:
Donde representa la sumatoria de los primeros términos consecutivos de la progresión. Entonces, una suma del tipo se puede calcular sustituyendo el primer término y la razón en la ecuación.
Ejemplos de progresión geométrica
A continuación veremos algunos ejemplos y ejercicios de progresión geométrica:
1) Ejemplos
a) 20, 40, 80, 160, 320, 640,… se trata de una progresión geométrica porque el factor de multiplicación o razón es 2.
b) 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729,… se trata de una progresión geométrica porque la razón es 3.
2) ¿De las siguientes secuencias, qué secuencia no es una progresión geométrica?
a. 1, 2, 6, 18, 54, 162,…
b. 4, 12, -5, -20,…
La respuesta correcta es la segunda. Porque el término “12”se obtiene multiplicando por 3 el término “4” (la razón seria 3), pero el término “-20” se obtiene multiplicando por 4 el término “-5” (la razón seria 4). Recordemos que en la progresión geométrica la razón se mantiene constante.
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Calculadoras de progresión geométrica en línea
A continuación, te daremos los nombres de algunas calculadoras en línea para que puedas resolver o comprobar tus problemas de progresiones geométricas:
1. Calculadora de términos
Esta calculadora te permite determinar cualquier término de la secuencia a partir del primer término y del número o razón .
2. Calculadora de la razón
Esta calculadora te permite calcular la razón de la secuencia, a partir de dos términos y, donde.
3. Calculadora del término general
Este tipo de calculadora en línea te permite calcular el término general por medio del del primer término y de la razón.
Esperamos que muchas de sus dudas, con respecto a las progresiones geométricas, hayan quedado aclaradas con este artículo.
Por otro lado, queremos recordarle que para profundizar mejor en las progresiones tanto geométricas como aritméticas, tener un tutor puede ser fundamental para avanzar en el proceso. Existen sitios web como Busca Tu Profesor, donde puedes encontrar el profesor de matemáticas que necesitas.
