- ¿Qué es la geometría analítica?
- Origen de la geometría analítica
- ¿Qué estudia la geometría analítica?
- Aplicaciones de la geometría analítica
- Fórmulas de la geometría analítica
- Trazar rectas, curvas, segmentos y superficies sobre el plano cartesiano y el espacio.
- Establecer el sistema de coordenadas polares y cartesianas, para ubicar puntos en el plano.
- Clasificar volúmenes, curvas y superficies.
- Estudiar todas las propiedades mediante las ecuaciones con vectores que describen una curva y la construcción de la misma en el espacio y/o plano.
- Derivar fórmulas fundamentales para resolver problemas sobre rectas, áreas, intersecciones, ángulos, paralelismo, puntos notables, planos, distancias, entre otras cosas.
- Resolver problemas geométricos empleando diferentes métodos algebraicos para deducir fórmulas referentes a los planos, los ángulos, área, rectas secantes, ecuaciones para la recta, entre otras cosas.
- Elipses: Se describen mediante la fórmula (x2/a2) + (y2/b2)= 1
- Círculos: Se describen mediante la fórmula x2 + y2 = 4
- Rectas: Se describen mediante la fórmula ax + by = c
- Hipérbolas: Se describen mediante la fórmula xy= 1
- Parábolas: Se describen mediante la fórmula y = ax2 + bx + c
La matemática como otras ciencias, está estructurada por diferentes ramas, que entre las más conocidas se encuentra: La trigonometría, el cálculo, la aritmética, el álgebra y por supuesto la geometría.
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¿Qué es la geometría analítica?
La geometría es la rama más importante y emblemática, ya que se centra en estudiar las características y las propiedades de las figuras presentes en el espacio (tres dimensiones) y en el plano (dos dimensiones). Esta se divide en: geometría algebraica, geometría descriptiva y geometría analítica.
La geometría analítica se define como el estudio que se centra en evaluar las características y las propiedades de las figuras geométricas. En términos más específicos, es la disciplina que se encarga de mezclar diferentes métodos de la trigonometría y del álgebra para interpretar y evaluar ciertos fenómenos geométricos.
Origen de la geometría analítica
La geometría analítica tiene su origen en el siglo XVII, gracias a dos notables matemáticos franceses llamados Pierre de Fermat (1601-1665) y René Descartes (1596-1650). Este último es considerado como el padre de la geometría, tras la publicación de su obra “El Discurso del Método” en el año 1637, especialmente en unos de sus más destacados apéndices llamado “La Géométrie”.
Donde unió dos disciplinas que en ese momento estaban separadas: La geometría y el álgebra. René Descartes en su obra introduce el sistema de coordenadas cartesiano, para así ubicar puntos en el espacio y en el plano.
Así mismo, hace uso de diferentes ecuaciones algebraicas (de segundo grado con dos variables), para resolver problemas geométricos con ellas. Sobre el matemático Pierre de Fermat es más reconocido por la óptica, aunque sus aportaciones con la geometría analítica son muy notables.
En el año 1629, Pierre de Fermat creó las técnicas que constituyen la geometría analítica luego de retomar las cónicas de Apolonio de Pérgano, lo que le permitió inventar un sistema de coordenadas propio. Logrando definir el concepto de “lugar geométrico”, con el que se ejecuta el estudio de la geometría analítica.
Sin embargo, estos trabajos realizados por el francés Fermat salieron a la luz en el año 1679 por medio de su hijo, cuando ya el matemático había fallecido. Por esta causa, a René Descartes se le atribuye la paternidad de la geometría analítica.
¿Qué estudia la geometría analítica?
La geometría analítica se centra en estudiar los elementos geométricos, es decir: superficies, volúmenes, curvas, puntos, segmentos y rectas. Para realizar estos estudios se emplean técnicas algebraicas con ecuaciones que describen y relacionan estos elementos.
De forma muy resumida y simple estos son los principales objetivos de la geometría analítica:
Aplicaciones de la geometría analítica
La geometría analítica es capaz de calcular el área de una figura, obtener distancias entre puntos, el volumen de un objeto, entre otras cosas. Esta disciplina se emplea en la arquitectura, astronomía y en la ingeniería. Por ejemplo:
Mapas
Utilizando el método del sistema de coordenadas cartesianas se elaboran mapas identificando lugares mediante la longitud y la latitud.
Trayectorias de cuerpos celestes
Las secciones cónicas descritas mediante la geometría analítica participan en eventos como la trayectoria de los cuerpos celestes, sujetos a la fuerza de la gravedad.
Cálculo Infinitesimal
Para el cálculo infinitesimal es importante el uso de la geometría analítica ya que facilita la representación gráfica de funciones y curvas, que ayudan a crear modelos que representan los eventos de la naturaleza.
Cálculos topográficos
En la topografía se emplean diferentes sistemas, uno de ellos es el sistema de coordenadas polares que constituye la base del estudio.
Sistemas de posicionamiento Global
El GPS (sistema de posicionamiento global) hace posible ubicar vehículos, embarcaciones o localidades con precisión. También facilita a las personas llegar con más facilidad al destino deseado, indicando las mejores rutas.
Construcciones civiles y arquitectura
En las construcciones arquitectónicas existen numerosas curvas. Por ejemplo: Los cables de un puente colgante, estas pueden tomar la forma de parábolas.
Fórmulas de la geometría analítica
Como se ha mencionado con anterioridad, la geometría analítica ofrece distintas fórmulas de geometría, estas son las más importantes:
Un ejemplo básico de la geometría analítica puede ser el cálculo de un punto medio de la distancia entre una coordenada de punto (x, y) siendo “X: 4” e “Y: 6”. En la coordenada de puntos se traza una recta para hallar el punto medio, para esto se divide los dos puntos de las siguiente manera: “(4 + 6) / 2 = 5. El resultado es que el punto medio de la coordenada “4,6” sería 5.
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