Las ecuaciones cuadráticas se pueden considerar como un lienzo sobre el cual se dibujan las parábolas. Además, las curvas creadas son muy comunes en el mundo natural y en la resolución de problemas de la vida diaria. Es por ello por lo que son tan importantes. Pero ¿cómo resolver estas ecuaciones de la forma más fácil? Te mostramos los mejores métodos que existen.
Si estás inmerso en el mundo del aprendizaje matemático, la guía de un tutor personal puede convertirse en un gran recurso para ti. Ahora bien, si ya te consideras un experto en el campo de las matemáticas, puedes considerar compartir tu conocimiento y experiencia como tutor personal. En la plataforma Busca Tu Profesor tienes la oportunidad de contratar un tutor personal o bien ofrecerte como uno.
CARACTERÍSTICAS DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas desempeñan un papel fundamental en el ámbito matemático y tienen aplicaciones prácticas en diversas disciplinas. Comprender sus características es imprescindible para abordar su resolución de manera efectiva. A continuación, desglosamos las componentes clave de estas ecuaciones:
Estructura general
Las ecuaciones de segundo grado tienen una estructura general y es la siguiente:
ax² + bx + c = 0
Donde:
- a, b, y c: son coeficientes constantes
- x: es la variable desconocida o incógnita
Como se ve en la fórmula de la ecuación cuadrática, el primer coeficiente (a) está acompañado de una variable elevada al cuadrado, el segundo coeficiente (b) está acompañado con una variable de exponente uno y el último coeficiente es un término independiente pues no está acompañado de variable.
Partes las ecuaciones de segundo grado
Las ecuaciones cuadráticas representan gráficamente parábolas en el plano cartesiano. La forma y la orientación de la parábola están determinadas por los coeficientes de la ecuación. Tomando esto en cuenta podemos separar la ecuación en las siguientes partes:
- Término cuadrático (ax²): Es la parte principal de la ecuación y determina la concavidad de la parábola asociada. El signo de “a” indica si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. A este respecto, si a>0 irá hacia arriba y a<0 irá hacia abajo.
- Término lineal (bx): Representa la parte lineal de la ecuación. Su presencia influye en la pendiente y posición de la parábola en el plano cartesiano.
- Término constante (c): Es el valor numérico independiente de “x” y determina la posición vertical de la parábola en el plano cartesiano y su intersección con el eje “y”.
- Discriminante (Δ): El discriminante está dado por la fórmula Δ = b²-4ac y es un parámetro crucial. Su valor determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación. Si Δ>0 entonces hay dos soluciones reales distintas, mientras que si Δ = 0 hay una solución real doble y si Δ<0 las soluciones son números complejos conjugados.
Al comprender estas características se construyen las bases para la resolución efectiva de ecuaciones de segundo grado. La resolución de una ecuación cuadrática implica encontrar las raíces o soluciones de la ecuación, es decir, los valores de “x” que hacen que la ecuación sea igual a cero. Estas soluciones pueden ser reales o complejas según el valor del discriminante.
Leer más: Ejemplos de expresiones algebraicas
MÉTODOS TRADICIONALES DE RESOLUCIÓN
A continuación, te mostramos dos métodos tradicionales que son ampliamente utilizados para resolver ecuaciones cuadráticas. Estos métodos son los más sencillos de aplicar haciendo más sencilla la resolución.
-
Factorización
La factorización es uno de los métodos más eficaces para resolver ecuaciones de segundo grado y se aplica cuando la expresión puede ser descompuesta en factores lineales. El proceso básico para factorizar es el siguiente:
Considerando la ecuación cuadrática genérica: ax² + bx + c = 0
- Expresión en forma factorizada: Se factoriza la ecuación cuadrática como (px + q) (rx + s) = 0, donde p, q, r y s son constantes.
- Establecer ecuaciones lineales: Se iguala cada factor a cero y se resuelven las ecuaciones lineales resultantes para encontrar los valores de x.
- Soluciones de la ecuación cuadrática: Las soluciones de la ecuación cuadrática original se obtienen de los valores de x encontrados en el paso anterior.
Ten en cuenta que muchas de las ecuaciones cuadráticas se pueden factorizar de manera similar, pero algunas ecuaciones de segundo grado que son más complejas se requerirán métodos diferentes como es la fórmula cuadrática.
Ejemplo
Ecuación para resolver:
x² − 6x + 9 = 0
Pasos:
- Teniendo en cuenta que la ecuación x² − 6x + 9 es igual a (x – 3) (x – 3), la ecuación puede ser expresada como (x – 3) ².
- Se factoriza la ecuación original en el factor (x – 3) ².
- Se iguala a 0 el factor obtenido quedando (x – 3) ² = 0
- Se resuelve la ecuación cuadrática resultante (x – 3) ² = 0, quedando: x – 3 = 0.
- Se agrega 3 a ambos lados de la ecuación para aislar la variable “x”.
- Finalmente tenemos que x =3.
Resultado:
La única solución de la ecuación cuadrática x² − 6x + 9 = 0 es x =3.
-
Fórmula cuadrática
La fórmula cuadrática es una herramienta bastante poderosa para encontrar las soluciones de cualquier ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0. La fórmula cuadrática es la siguiente:
x=-b±2a
Donde Δ es el discriminante b²-4ac, quedando la fórmula cuadrática de la siguiente forma:
x=-b±b2-4ac2a
El proceso para utilizar esta fórmula consiste en:
- Calcular el discriminante (Δ): Para ello se utiliza la fórmula b²-4ac.
- Aplicar la fórmula cuadrática: Utilizamos la fórmula cuadrática para obtener las soluciones de la ecuación cuadrática.
- Soluciones: Se obtiene la solución según el valor de Δ, recordando que si Δ>0 hay dos soluciones reales distintas, si Δ=0 hay una solución real doble y si Δ<0 las soluciones son números complejos conjugados.
Leer más: Todo sobre progresión geométrica
Ejemplo
Ecuación para resolver:
2x² − 5x − 3 = 0
Pasos:
- Se identifican los coeficientes teniendo en cuenta la ecuación cuadrática genérica: ax² + bx + c = 0, a cuál se puede determinar que:
a = 2
b = -5
c = -3
- Se calcula el discriminante (Δ):
Δ = b²-4ac
Δ = (-5) ² - 4(2)(-3)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Puesto que Δ>0 entonces hay dos soluciones reales distintas
- Se aplica la fórmula cuadrática:
x=-(-5)±492(2)
x=5±74
- Se calculan las soluciones:
1era solución:
x=5+74
x1=124
x1=3
2da solución:
x=5-74
x2=-24
x2=-0.5
Resultado:
La ecuación de segundo grado 2x² − 5x − 3 = 0 tienes dos soluciones reales como indica su discriminante (Δ) y son las siguientes:
X1 = 3
X2 = -0.5
